سیستم اعداد باینری: چگونه کار می کند؟ [Complete Guide]

سیستم اعداد باینری: چگونه کار می کند؟ [Complete Guide]

سیستم اعداد باینری یک سیستم عددی است که فقط 0 و 1 را می شناسد.

در سیستم اعشاری “سنتی” ده کاراکتر اعداد ابتدایی برای استفاده وجود دارد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9.

وقتی اعداد را می شمارید، بعد از رسیدن به 9 باید دوباره از اعداد ابتدایی استفاده کنید. این به این دلیل است که برای اعداد بعد از 9 علامت خاصی وجود ندارد. عدد بعد از 9 10 است که ترکیبی از ارقام اولیه 1 و 0 است. .

در سیستم دودویی، تنها دو عدد اولیه وجود دارد: 0 و 1.

هنگام شمارش با اعداد باینری، خیلی سریعتر به مرز بدون رقم می رسید. این بدان معنی است که شما باید از 0 و 1 بعد از عدد دوم دوباره استفاده کنید.

0
1
10
11
100
101
110
111

این یک راهنمای جامع برای سیستم اعداد باینری است. این راهنما به سوالاتی مانند:

  • سیستم های اعدادی مانند اعشاری یا هشتی چیست؟
  • سیستم اعداد باینری چیست؟
  • چگونه می توانم اعداد باینری را به اعشار تبدیل کنم؟

بیایید با شمارش اعداد به روش سنتی شروع کنیم. لطفاً این مرحله را نادیده نگیرید زیرا اولین قدم مهم برای درک سیستم باینری است.

شمارش اعداد

سیستم اعداد اعشاری

در زندگی روزمره خود عادت دارید از اعداد بین 0 تا 9 استفاده کنید.

این سیستم اعداد اعشاری نامیده می شود. ده نماد عددی مختلف در سیستم اعشاری وجود دارد. اینها البته عبارتند از:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

حالا وقتی اعداد را با استفاده از سیستم اعشاری بشمارید، با مشکل مواجه می شوید. وقتی بیش از 9 مورد برای شمارش وجود دارد، نمادهای عددی شما تمام می شود. عدد 9 آخرین عددی است که می توانید استفاده کنید.

برای غلبه بر این مشکل، استفاده مجدد از اعداد را شروع کنید. برای انجام این کار، ارقام را به صورت استراتژیک در کنار یکدیگر قرار می دهید تا اعداد بزرگتر از 9 را نشان دهند.

مثلا عدد بعد از 9 عدد 10 است که ترکیبی از یک و صفر است. هیچ راهی برای نشان دادن عدد ده با یک علامت منحصر به فرد وجود ندارد.

وقتی به شمارش از 10 ادامه می دهید، با همان مشکل در 19 مواجه می شوید. باز هم، شما از تمام اعداد موجود در سیستم اعشاری استفاده کرده اید و باید دوباره از آنها برای شمارش بیشتر استفاده کنید. حالا وقت آن است که عدد 2 را در سمت چپ قرار دهید و اعداد سمت راست را از 0 به 9 بریزید.

این روند تا رسیدن به عدد 99 ادامه می یابد. اکنون هر دو عدد به طور کامل از سیستم اعشاری عبور کرده اند. هیچ راهی برای بیان یک عدد اعشاری بزرگتر با دو رقم وجود ندارد. در این مورد، شما به یک سوم نیاز دارید. شمارنده اکنون روی 100 است.

این ایده به طور نامحدود ادامه دارد.

ظاهراً شمارش اعداد به طور خودکار انجام می شود. شکستن آن به این صورت کاری است که هرگز نیازی به انجام آن نخواهید داشت – مگر اینکه بخواهید نحوه عملکرد سیستم اعداد باینری را بیاموزید.

اما برای درک نحوه عملکرد سیستم باینری، باید مکانیسم اعداد روزمره را بدانید. به طور خاص، باید ببینید چگونه می توانید از اعداد موجود در سیستم برای بیان اعداد بزرگتر استفاده مجدد کنید.

سیستم های متعدد

در بخش قبل، نحوه عملکرد اعداد اعشاری “سنتی” را یاد گرفتید. اما وجود ده عدد در سیستم اعداد چیز خاصی ندارد. در واقع، می تواند به تعداد دلخواه شماره داشته باشد.

طبیعتاً داشتن یک سیستم پایه متفاوت بر نحوه انجام محاسبات تأثیر می گذارد.

به عنوان مثال، بیایید یک سیستم اعداد پایه هشت (که سیستم اعداد هشتگانه نیز نامیده می شود) ایجاد کنیم.

در سیستم پایه هشت، شما محدود به استفاده از هشت عدد اولیه هستید:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

حالا بیایید مانند آنچه در بخش قبل انجام دادید، شمارش را شروع کنیم. اما از آنجایی که اکنون فقط هشت رقم برای انتخاب دارید، باید استفاده مجدد از ارقام را زودتر شروع کنید.

برای مثال، بیایید تا هشت را در سیستم هشتی بشماریم:

0
1
2
3
4
5
6
7
10

همانطور که می بینید، عدد بعد از 7 10 است. این به این دلیل است که در سیستم پایه هشت، آخرین رقم موجود از عدد 7 است. بنابراین، شما باید مانند قبل شروع به استفاده مجدد از ارقام کنید. اما به جای اینکه بعد از عدد 9 این کار را انجام دهید، باید آن را بعد از 7 در سیستم اکتال انجام دهید.

به عنوان مثال دیگر، بیایید از 0 تا 20 با استفاده از سیستم های اعشاری و اکتالی در کنار هم بشماریم:

اعشاری (پایه-10) اکتال (پایه-8)
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 10
9 11
10 12
11 13
12 14
13 15
14 16
15 17
16 20
17 21
18 22
19 23
20 24

به همین سادگی است. به عنوان مثال در اینجا می توانید ببینید که نقطه اعشار 20 24 در هشت است.

عالی! شما اکنون درک اولیه ای از سیستم های اعداد و شمارش دارید.

اکنون همه چیزهایی را که برای درک سیستم اعداد باینری نیاز دارید در اختیار دارید.

سیستم دودویی

سیستم اعداد باینری یک سیستم اعدادی است که فقط دو عدد دارد. این اعداد هستند 0 و 1.

ایده سیستم باینری هیچ تفاوتی با سیستم اعشاری یا سیستم هشتگانه ای که قبلا معرفی شد ندارد.

با این حال، در سیستم باینری، کاراکترهای عددی بسیار کمتری در دسترس هستند. این بدان معناست که هنگام شمارش اعداد، ارقام سریع‌تر تمام می‌شوند.

برای مثال، بیایید با استفاده از باینری تا دو بشماریم:

0
1
10

مشابه نحوه شمارش اعداد سنتی، هنگامی که تعداد ارقام باینری تمام شد، باید دوباره از آنها استفاده کنید.

بیایید به شمارش ادامه دهیم. این بار با استفاده از سیستم باینری از 0 تا 9 بشماریم:

0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001

به عنوان مثال، به عدد 11 نگاه کنید. این بزرگترین عددی است که می تواند به صورت دو رقم باینری بیان شود. برای ایجاد یک عدد بزرگتر از 11، باید یک رقم باینری سوم را به ترکیب اضافه کنید.

چگونه اعداد باینری را به اعشار تبدیل کنیم؟

راه ساده برای تبدیل یک عدد باینری به اعشاری این است که از 0 شروع کنید و اعداد را تا اعدادی که در حال تبدیل آن هستید بشمارید.

این به خوبی با اعداد کم کار می کند.

اما اگر عدد بزرگتری برای تبدیل دارید، این روش یک عمر طول می کشد.

برای ایجاد یک سیستم بهتر برای تبدیل دودویی به اعشاری، اجازه دهید اعداد باینری را کمی بیشتر بشماریم. این بار بیایید تا 31 بشماریم و ببینیم آیا می توانیم الگوی مفیدی در اعداد باینری پیدا کنیم.

دودویی اعشاری
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 10
1011 11
1100 12
1101 13
1110 14
1111 15
10000 16
10001 17
10010 18
10011 19
10100 20
10101 21
10110 22
10111 23
11000 24
11001 25
11010 26
11011 27
11100 28
11101 29
11110 30
11111 31

بیایید به اعداد باینری نگاه کنیم. یک الگوی واضح بین اعداد باینری و اعداد اعشاری وجود دارد.

هنگامی که یک و تنها با صفر دنبال می شود، عدد اعشاری مربوطه به توان دو می رسد.

مثلا:

  • 1 -> 1
  • 10 -> 2
  • 100 -> 4
  • 1000 -> 8
  • 10000 -> 16

اکنون، بیایید مشاهده بالا را با استفاده از توان دو بازنویسی کنیم:

  • 1 -> 2⁰
  • 10 -> 2¹
  • 100 -> 2²
  • 1000 -> 2³
  • 10000 -> 24
  • .
  • .
  • .

این مشاهده به شما کمک می کند زمانی که می خواهید اعداد باینری را به صورت دستی به اعداد اعشاری تبدیل کنید.

بر اساس این مشاهدات، می توانیم جدولی برای درجه های 0 تا 7 ایجاد کنیم:

27 = 128 2⁶ = 64 25 = 32 24 = 16 2³ = 8 2² = 4 2¹ = 2 2⁰ = 1
0 0 0 0 0 0 0 0

این جدول یک عدد باینری هشت رقمی را نشان می دهد.

حالا وقتی در هر ستونی “1” می بینید به این معنی است که توان متناظر دو در عدد باینری وجود دارد.

بنابراین برای تبدیل از باینری به اعشاری باید تمام اعداد فعلی را در جدول جستجو جمع کنید.

بگذارید منظورم را به شما نشان دهم.

به عنوان مثال، اجازه دهید فایل باینری را تبدیل کنیم 1101 به یک عدد اعشاری

اول از همه، هر زمان که با اعداد باینری سر و کار دارید، می توانید هر تعداد صفر در سمت چپ که می خواهید اضافه کنید.

بنابراین زمانی که ما در مورد 1101ما همچنین می توانیم آن را به عنوان بنویسیم 00001101.

حالا بیایید 0 و 1 را از آن عدد در جدول باینری وارد کنیم:

27 = 128 2⁶ = 64 25 = 32 24 = 16 2³ = 8 2² = 4 2¹ = 2 2⁰ = 1
0 0 0 0 1 1 0 1

برای تبدیل یک عدد به اعشار، از سمت راست شروع می کنیم.

  • یکی 2⁰ = 1 وجود دارد.
  • شماره 2¹ = 2.
  • یک 2² = 4 وجود دارد.
  • یکی 2³ = 8 وجود دارد.
  • شماره 24 = 16 حاضر.
  • شماره 25 = 32 حاضر.
  • شماره 26 = 64.
  • شماره 27 = 128.

حال بیایید مقادیر موجود در فایل باینری را جمع آوری کنیم. این به ما 1 + 4 + 8 = 13 می دهد. بنابراین عدد باینری 1101 13 در پایه اعشاری است.

جمعش کن

امروز یاد گرفتید که سیستم اعداد باینری چگونه کار می کند.

به طور خلاصه، در باینری شما فقط می توانید محاسبات را با اعداد 0 و 1 انجام دهید.

در سیستم اعداد “سنتی”، ده عدد برای انجام محاسبات دارید. هنگام شمارش اعداد به روش سنتی، باید از ارقام بعد از عدد 9 دوباره استفاده کنید. برای مثال، عدد 64 ترکیبی از ارقام اولیه 6 و 4 است.

در باینری، ایده یکسان است. اما از آنجایی که فقط دو عدد برای استفاده وجود دارد، استفاده مجدد از اعداد بلافاصله بعد از عدد 1 اتفاق می افتد.

به عنوان مثال، عدد 3 در اعشار، 11 در باینری است.

0
1
10
11

با تشکر برای خواندن!

همچنین بخوانید

آیا می خواهید پایه دیجیتال جالب دیگری را یاد بگیرید؟ فراموش نکنید که بررسی کنید رنگ های شش گوش چیست. این راهنما در مورد سیستم اعداد هگزادسیمال (16 پایه) صحبت می کند.

پست سیستم اعداد باینری: چگونه کار می کند؟ [Complete Guide] اولین بار در کدینگم ظاهر شد.